數理精英社團 × 課後測驗

這三題不用算式，只要會「排除」

社團測驗的這三題，看起來一題是幾何、一題是說謊、一題是猜數字，其實考的是同一種能力：把每一句話變成條件，列出所有可能，再一個一個刪掉不合的，剩下那個就是答案。這一區把三題各自需要的概念拆開講，再配上練習題。

一先看這次測驗的三題

把題目原文放在這裡，等一下每一頁都會回來對照。先自己想想看再往下看解析，想不出來也沒關係，這三題本來就是競賽題。

第 1 題　107 年數學競賽初賽

桌上有五張分別寫上長方形、正方形、菱形、箏形、等腰梯形的牌卡，面朝下洗勻之後，甲、乙兩人分別從中抽取一張，自己可以看但對方不能看。老師分別看了甲、乙兩人的牌之後對他們說：「這兩個四邊形，它們的對角線性質（垂直、互相平分、等長）完全沒有重複。」接著甲、乙有了以下對話：

甲：「我不知道你的牌。」

乙：「我原本也不知道，但是聽你說完我就知道。」

甲：「那我也知道你的牌了。」

請問甲、乙兩人抽到的四邊形分別為何？

(A) 正方形、菱形　(B) 長方形、菱形　(C) 菱形、箏形　(D) 等腰梯形、箏形

第 2 題　106 年數學競賽初賽

教室的玻璃被打破了，在場目睹過程的人有甲、乙、丙三人，且這件事一定是甲、乙、丙三人其中一人所為。當老師分別詢問三人時，

甲說：「是乙做的。」

乙說：「不是我做的。」

丙說：「也不是我做的。」

已知三人中只有一人說了實話，請問玻璃是誰打破的？

(A) 甲　(B) 乙　(C) 丙　(D) 條件不足，無法有效判斷

👉 解析與練習在 ① 真假話推理

挑戰題

老師把三個不同的正整數分別貼在小金、小楷、小治三人的額頭上，讓他們看不到自己的數字，只能看到另外兩人的數字；老師說：「這三個數字裡，其中兩個相加剛好等於另一個。你們知道自己頭上是什麼數字了嗎？」

小楷、小治還沒反應，小金就搶先說：「我知道，我的是 180！」

小楷、小治一聽，馬上也雙雙說：「我也知道了！」

請問，180 以外的兩個數字是什麼？

👉 解析與練習在 ③ 額頭上的數字

因為它們都給你一堆「可能」，再給你幾句話，要你用那幾句話把可能刪到只剩一個。數學上這叫窮舉與排除。

🔑 最重要的一句話

題目裡「只有一人說實話」「完全沒有重複」「他們馬上也知道了」這些句子，不是氣氛，是條件。每讀到一句，就問自己：這句話讓哪些可能死掉了？

💡 高手的加速鍵

第 2 題還有一招更快的：找出互相矛盾的兩句話。甲說「是乙做的」、乙說「不是我做的」——這兩句一定一真一假。既然只有一個人說真話，那真話一定在這兩人之間，丙一定在說謊，所以丙就是犯人。這招在 ① 真假話推理有完整練習。

坑	怎麼避開
把「說謊」想成「這個人壞」	邏輯題裡說謊只代表這句話是假的，沒有別的意思。只要照條件檢查就好。
只試一種假設就下結論	一定要三種都試完。剛好符合的那一個不一定是第一個試到的，而且試完才知道答案是不是唯一。
把「我不知道」當成沒有資訊	這是最貴的資訊！它表示從他的角度看，答案不只一種，可以直接刪掉「一看就知道」的情況。
幾何性質靠印象	菱形的對角線等不等長？箏形的對角線互不互相平分？畫一個很扁的圖試試看，別靠記憶中那個「剛好正正的」圖。

👨‍👩‍👧 陪練的三個提問

三題的來源是孩子數理精英社團的課後測驗（第 1、2 題標註為 107 年、106 年數學競賽初賽）。這一區的解析與練習題是為了讓概念留下來而寫的，不是官方解答。練習題的作答紀錄只存在這台裝置的瀏覽器裡。