額頭上的數字
看得到別人，看不到自己。這一題的關鍵不是算數，而是問自己：他為什麼有辦法立刻回答？能立刻回答，代表他看到的畫面只留下一種可能——把那種畫面找出來，答案就出來了。
🎯 這一頁學完，你會……
- 寫出「我的數字」只有兩種可能：兩數之和、兩數之差
- 找出「差」什麼時候會不合法，因而只剩一種可能
- 由「他立刻知道」反推出他看到的是 2 倍關係
- 用同樣的方法，解「他一開始不知道，後來才知道」的第二輪推理
老師把三個不同的正整數分別貼在小金、小楷、小治三人的額頭上，看不到自己的，只看得到另外兩人的；老師說：「這三個數字裡，其中兩個相加剛好等於另一個。你們知道自己頭上是什麼數字了嗎？」
小楷、小治還沒反應，小金就搶先說：「我知道，我的是 180！」
小楷、小治一聽，馬上也雙雙說：「我也知道了！」
請問，180 以外的兩個數字是什麼？
一先把規則寫清楚
- 三個數字都是正整數（≥ 1），而且互不相同。
- 其中兩個相加＝第三個。所以最大的那個 ＝ 另外兩個的和。
- 每個人看得到另外兩個數字，看不到自己的。
「小金立刻說出答案」。如果他看到的畫面有兩種可能，他就不可能立刻回答。所以真正的問題是：什麼樣的畫面，只會有一種答案？
二我看到兩個數字，我的可能有哪些？
假設我看到兩個數字，大的是 大、小的是 小。三個數字裡「兩個相加等於第三個」，只有三種擺法：
| 擺法 | 我的數字 | 合不合法 |
|---|---|---|
| 大 ＋ 小 ＝ 我 | 大 ＋ 小 | ✅ 永遠合法（比兩個都大，不會撞名） |
| 我 ＋ 小 ＝ 大 | 大 － 小 | 要檢查：不能等於 0，也不能和「小」重複 |
| 我 ＋ 大 ＝ 小 | 負數 | ❌ 不可能（正整數不能加出更小的數） |
我的數字＝兩數之和，或兩數之差。最多兩種可能——這就是為什麼「立刻知道」這麼有資訊量：兩種變一種，一定是有一種被刪掉了。
三什麼時候「差」會被刪掉？
差被刪掉只有一個理由：算出來的差和看到的小數字重複了（三個數字必須互不相同）。
看到 120 和 60
- 和：120 ＋ 60 ＝ 180 → 三個數是 180、120、60，互不相同 ✅
- 差：120 － 60 ＝ 60 → 三個數是 60、120、60，和看到的 60 重複 ❌
只剩一種 → 立刻知道自己是 180。
什麼時候會發生這種重複？就是大 － 小 ＝ 小 的時候，也就是 大 ＝ 2 × 小。
一個人能立刻知道自己的數字 ⟺ 他看到的兩個數字剛好是 2 倍關係（例如 60 和 120、25 和 50）。
這時他的數字＝兩數之和＝小數字的 3 倍。
四解出來：180 以外的兩個數字
- 小金立刻知道
→ 他看到的兩個數字是 2 倍關係，設為 k 和 2k。 - 他的數字＝兩數之和
→ k ＋ 2k ＝ 3k，而他說自己是 180。 - 解出 k
→ 3k ＝ 180，k ＝ 60。 - 寫出答案
→ 另外兩個數字是 60 和 120。（檢查：60 ＋ 120 ＝ 180 ✅，三數互不相同 ✅）
五為什麼小楷和小治接著也知道了？
他們用的是同一招：從「小金能立刻回答」反推。
| 他看到 | 他的可能 | 怎麼刪掉錯的那個 | |
|---|---|---|---|
| 小楷 | 180、60 | 240（和）或 120（差） | 如果自己是 240，小金就會看到 240 和 60（不是 2 倍關係），小金不可能立刻回答。既然他回答了 → 自己是 120。 |
| 小治 | 180、120 | 300（和）或 60（差） | 如果自己是 300，小金就會看到 300 和 120（不是 2 倍關係），小金也不可能立刻回答 → 自己是 60。 |
小金沒有告訴任何人他看到什麼，但「他能立刻回答」這件事本身，就讓另外兩個人各自刪掉一個選項。在邏輯裡，別人的反應也是資料。
六互動：自己試試看各種畫面
🔎 額頭數字探測器
填入「我看到的兩個數字」，看看我的數字有哪些可能、能不能立刻回答。
✍️ 練習題
A. 選擇題
規則都一樣：三個不同的正整數，其中兩個相加等於第三個。
小安看到另外兩人是 40 和 20。他能不能立刻知道自己的數字？
和＝60 ✅；差＝40 － 20 ＝ 20，會和看到的 20 重複 ❌。只剩一種 → 60。（40 剛好是 20 的 2 倍，符合「立刻知道」的條件。）
小美看到另外兩人是 50 和 30。她的數字有哪些可能？
和＝80 ✅；差＝20，和 50、30 都不重複，也合法 ✅。兩種都可能，所以她還不能回答。50 不是 30 的 2 倍，這正是差沒被刪掉的原因。
一個人能立刻說出自己的數字，代表他看到的兩個數字有什麼關係？
只有「大 ＝ 2 × 小」時，差才會等於小的那個數而重複、被刪掉，剩下唯一解（＝和）。
如果小金立刻說的是「我的是 240」，另外兩個數字是？
立刻知道 → 看到 k 和 2k，自己＝3k＝240 → k＝80，所以是 80 和 160。（檢查：80 ＋ 160 ＝ 240 ✅）
同樣的規則，如果有人立刻說「我的是 90」，另外兩個數字是？
3k ＝ 90 → k ＝ 30，另外兩數是 30 和 60。注意 45 和 45 不行——三個數字必須互不相同。
小傑看到 21 和 7，他能立刻知道嗎？
和＝28 ✅；差＝14，和 21、7 都不同，合法 ✅。21 是 7 的 3 倍不是 2 倍，所以差沒被刪掉，他還不能回答。
為什麼「兩數之和」這個選項永遠合法，不需要檢查？
兩個正整數相加，結果一定比其中任何一個大，所以不會撞到已經看到的數字。要小心檢查的永遠是差。
小楷看到 180 和 60，可能是 240 或 120。他為什麼能排除 240？
關鍵是用小金的「立刻」來檢查每一個假設。若小楷是 240，小金看到的是 240 和 60（4 倍關係），他會有 300 和 180 兩種可能，不可能立刻回答。事實上他回答了，所以這個假設出局。
「小楷、小治還沒反應」這句話告訴我們什麼？
沒能立刻回答＝看到的畫面有兩種可能＝不是 2 倍關係。檢查一下：小楷看到 180 和 60（3 倍）、小治看到 180 和 120（1.5 倍），都不是 2 倍 ✅ 和答案一致。
（這一題就算不用這句話也解得出來，但它幫我們驗算。）
如果題目沒有規定「三個數字互不相同」，小金還能立刻知道自己是 180 嗎？
「互不相同」正是刪掉「差」的唯一武器。拿掉它，看到 120 和 60 的人就有 180（和）與 60（差）兩種可能，誰也立刻回答不了。題目每一個條件都有用。
用 k 表示：某人能立刻回答時，三個數字一定長什麼樣子？
他看到 k 和 2k，自己是 3k。所以三個數字是 k、2k、3k（本題 k＝60：60、120、180）。
順帶一提，這也表示三個數字一定是同一個數的 1、2、3 倍——很好用的檢查法。
三個數字是 30、50、20（30 ＋ 20 ＝ 50）。額頭 30 的叫 A、50 的叫 B、20 的叫 C。A 先說：「我不知道。」接著 B 說：「那我知道了，我是 50。」B 是怎麼推出來的？
B 看到 30 和 20，自己可能是 50（和）或 10（差，和 30、20 都不同，本來也合法）。光看數字分不出來——選項 (A) 只說明 50 有可能，沒有排除 10。
真正的關鍵是 A 那句「我不知道」：假設 B 是 10，A 就會看到 10 和 20，剛好 2 倍，A 第一輪就該立刻回答。事實上 A 不知道 ❌，所以 B 不是 10 → B 是 50。
這叫第二輪推理：第一輪的「不知道」，變成第二輪的條件。難一點的題目要跑三、四輪。
B. 動手寫
不看解析，自己寫一次
請完整寫出：為什麼小金能立刻知道，以及另外兩個數字怎麼算出來。（提示：從「我的數字只有兩種可能」開始寫。）
① 看到兩個數字時，我的數字只可能是「和」或「差」。
② 和永遠合法；差只有在「大＝2×小」時才會和小的重複而被刪掉。
③ 小金立刻知道 → 他看到的是 k 和 2k，他自己是 3k。
④ 3k ＝ 180 → k ＝ 60 → 另外兩個數字是 60 和 120。
換一個數字
如果小金立刻說「我的是 96」，另外兩個數字是什麼？寫出算式並檢查。
3k ＝ 96 → k ＝ 32 → 另外兩數是 32 和 64。
檢查：32 ＋ 64 ＝ 96 ✅、三數互不相同 ✅、64 ＝ 2 × 32 ✅（所以他才能立刻知道）。
挑戰：第二輪推理
三個數字是 60、100、40（60 ＋ 40 ＝ 100）。額頭 60 的叫 A、100 的叫 B、40 的叫 C。
① A 第一輪能不能知道自己的數字？② 若 A 說「我不知道」，B 能不能確定自己是 100？請寫下理由。
① A 看到 100 和 40：和＝140、差＝60，兩個都合法（60 和 100、40 都不同）→ A 不知道。（100 不是 40 的 2 倍，所以差沒被刪掉。）
② B 看到 60 和 40：自己可能是 100（和）或 20（差）。假設自己是 20 → A 就會看到 20 和 40，剛好 2 倍 → A 第一輪就該立刻知道。可是 A 說不知道 ❌，所以自己不是 20 → B 確定自己是 100。
看懂這一題，你就完全掌握了這個單元最核心的一招：把別人的「不知道」當成條件用。